包含数据丢失的迭代学习控制系统收敛性分析

　　基金项目：上海市重点学科基金（S30108）；上海市科委重点。

　　基于无线网络的ILC系统框图然而，由于无线网络的不可靠性，测控信号在无线传输过程中不可避免地会发生随机丢失。此时，包含测控信号随机丢失影响的ILC系统可表示为而系统输出误差和控制输入误差在时域内具有的关系为再对式（14）两边同时取范数，可得suk+1（tA）（k，t）Suk（t）此时，控制输入误差在迭代域内的转移矩阵H1可表达为=1，2，T.由式（10）可知，在/-尸（6>5　　显然，测控信号通过无线网络传输时发生的随机丢失会影响ILC系统的迭代学习过程，进而影响系统的收敛性能。在下节中，将就测控信号发生随机丢失情况下决定ILC系统收敛速度的转移矩阵特征值和决定ILC系统鲁棒收敛性的转移矩阵下三角元素取值的变化展开研究，分析测控信号随机丢失对ILC系统收敛速度和鲁棒收敛性的影响。

　　2测控信号随机丢失对ILC系统收敛性影响的分析在测控信号均没有受到随机丢失影响的情况下，如果不考虑初始状态误差，控制输入误差在迭代域内的关系为可知，lim（t）=0，te，即系统输出实现了对期望轨迹的精确跟踪。然而，测控信号无线传输时发生的随机丢失势必会干扰控制器在迭代域内的学习过程，不仅会使转移矩阵H的特征值/-r（t）cB发生改变，影响系统的收敛速度，而且会使转移矩阵下三角内其他元素111的取值发生变化，影响系统的鲁棒收敛性。

　　本节将就测控信号随机丢失对ILC系统转移矩阵特征值和下三角内元素取值的影响展开分析。首先，分别得到第k次迭代中包含测控信号随机丢失影响因子厶（t）和（t）的系统转移矩阵和Hk2，然后分别分析第t时刻传感器发送的测量信号q（t +1）和控制器发送的控制信号k（t）发生随机丢失对转移矩阵和Hk2元素取值造成的影响。下面，在假设丨丨尸（t）S涔，4<久，网八，CS怂的基础上，分两种情况分别讨论。

　　2.1测量信号随机丢失对ILC系统收敛性能影响的分析当仅有测量信号发生随机丢失时，Uk（' =k（t）。根据式（2）和式（4），可得状态误差5xk（t）和控制输入误差加k（t）的关系为当第k次迭代过程中第t时刻的测量信号ek（t+1）发生随机丢失时，7k（t）=0.根据式（17）和式（18）可知，转移矩阵树中第t+1行的元素取值发生了变化，不仅该行中对应的特征值fl（t+1，t+1）=p0（k，t）=1，并且下三角内该行其它元素取值均为=0，1山t.此时，转移矩阵H1可进一步表示为当第k次迭代中第t时刻的控制信号Uk（t）发生随机丢失时，（t）=0.根据式（25）可知，转移矩阵H2中的特征值Hk2（t转移矩阵Hf内下三角元素也将发生改变，其中第t +2到第T行部分元素取值为0，即H2（t此时，转移矩阵H2可进一步表示为由式（27）可知，控制信号（t）的丢失使转移矩阵Hf中第t+1行到第T行元素的取值均发生了变化，其中第/ +1行对应的特征值取值为1，降低了对应控制输入误差的收敛速度，而与第灸次迭代过程中测量信号+1）丢失影响不同的是，控制信号的丢失并未使得左下角内第+1行其它元素取值发生变化，但却使转移矩阵第/ +2行到第「行中第/+1列元素取值为0.由式（10）可知，控制输入误差M（/）（0句U）的函数，如果因为（/）丢失造成转移矩阵和中对应于（/）（0句心）的元素取值为0，则会使加+1的收敛曲线发生波动，影响lluoll的鲁棒收敛性。显然，在任意一次迭代过程中，控制信号发生丢失的比例越大，转移矩阵内下三角内取值为0的元素也越多，其对控制输入误差鲁棒收敛性的影响越明显。而根据式（11）可知，控制信号随机丢失对输出误差鲁棒收敛性的影响也越明显。

　　在假设ILC系统控制器和执行器均为事件驱动的前提下，也分析了测控信号随机丢失对ILC系统收敛性能的影响。在事件驱动方式下，系统的执行器或控制器分别利用第灸次迭代过程中第f-1时刻接收到的测控信号代替第/时刻发生丢失的测控信号。由于该方法仍使得测量信号丢失情况下系统转移矩阵特征值取值为1，因此系统的收敛速度仍会随测量信号丢失概率的增加而降低。另外，针对控制信号随机丢失的影响，该方法虽然降低了控制信号丢失对系统鲁棒收敛性的影响，但由于该方法是在时域内对控制信号随机丢失进行补偿，而没有考虑到ILC系统控制信号在迭代域内得到收敛的性质，因此该方法仍不能保障控制信号发生随机丢失时ILC系统输出误差能够随迭代次数的增加而收敛于零。在下一节中，将通过仿真，情况下，转移矩阵特征值/-厂（5 =0.6<1.下面，以/=40时的控制输入误差和输出误差均值的/2范数为考查目标，验证本文分析结果的正确性，并和中采用时域补偿方法后的分析结果进行比较。

　　测量信号不同随机丢失概率下/ =40时控制输入误差和输出误差均值/2范数的收敛曲线分别如和所示。

　　测量信号丢失影响下控制输入误差收敛曲线迭代次数/k没有丢失：丢失概率6%；丢失概率12%；丢失概率18%.测量信号丢失影响下输出误差均值收敛曲线由可知，测量信号丢失概率越大，控制输入误差发生无效迭代的次数越多，控制输入误差收敛的越慢。而因为任意时刻的输出误差均为多个控制输入误差的函数，因此输出误差均值/2范数的收敛速度也随测量信号丢失概率的增加而下降。

　　控制信号不同随机丢失概率下/ =40时控制输入误差和输出误差均值/2范数的收敛曲线分别如和所示。由可知，与测量信号随机丢失对系统收敛性能造成的影响不同，控制信号随机丢失对系统的鲁棒收敛性造成了明显影响，且控制信号随机丢失的概率越大，控制输入误差的收敛曲线发生的随机波动越大。因此，输出误差均值/2范数鲁棒收敛性受到的影响也随控制信号随机丢失概率的增大而增大。

　　迭代次数/k丢失概率3%；―+-丢失概率6%；没有丢失控制信号丢失影响下控制输入误差收敛曲线――没有丢失；迭代次数/k -丢失概率3.%；t-丢失概率6%.；丢失概率9控制信号丢失影响下输出误差均值收敛曲线迭代次数/k -没有丢失；丢失概率6%；测量信号丢失时域补偿后输出误差均值收敛曲线迭代次数/k―K―没有丢失；一―丢失概率3%.；一+-丢失概率6%.；丢失概率9%控制信号丢失时域补偿后输出误差均值收敛曲线采用中的时域补偿方法后，测控信号不同随机丢失概率下的输出误差均值/2范数的收敛性能曲线分别如和所示。

　　由可知，对测量信号随机丢失进行时域补偿后，输出误差均值/2范数的收敛速度仍然随测量信号丢失概率的增加而变慢。而由可知，对控制信号随机丢失进行时域补偿后，虽然控制信号随机丢失对系统输出误差均值/2范数的鲁棒收敛性影响减小，但系统输出误差均值/2范数仍不能随迭代次数的增加而收敛于零。

　　仿真结果表明，测量信号随机丢失对ILC系统收敛性能的影响主要体现在收敛速度上，而控制信号随机丢失的影响主要体现在鲁棒收敛性上。而在时域对发生随机丢失的测控信号进行补偿后，仍不能完全抑制测控信号随机丢失对ILC系统收敛性能的影响。

　　4结论针对一类控制器采用ILC方法的无线网络控制系统，通过研究测控信号分别发生随机丢失时转移矩阵元素取值的变化情况，分析了测控信号随机丢失对ILC系统收敛速度和鲁棒收敛性的影响。由分析结果可知，测量信号随机丢失仅会降低ILC系统的收敛速度，而控制信号随机丢失却会显著影响ILC系统的鲁棒收敛性。*后，通过仿真实验证明了分析结论的正确性。

　　为了抑制测控信号随机丢失对ILC系统收敛性能的影响，可考虑分别在系统执行器和控制器端对接收到的控制信号和测量信号进行迭代域补偿，保障ILC系统输出误差的收敛性能。