高层钢结构双重非线性分析的塑性铰法

　　比较困难。Chen等人在Che的基础上使用二阶力来考虑结构的效应，可这种方法在应用范围上有其局限性，而且不能考虑弯矩与轴力的耦合作用。本文在引入塑性铰的同时考虑了几何非线性、残余应力等的影响，提出了一种适合高层钢结构分析的实用方法。

　　1塑性铰的性质1单元特征及基本假设这里给出的塑性铰的概念主要是用来建立钢结构中空间梁柱进入塑性后的力学反应模型，这个模型考虑了空间梁柱在弹塑性状态下的双向弯矩、扭矩和轴力的相互影响。它认为塑性变形主要集中发生在杆端，塑性铰发生处被看成是没有实际长度的一个截面，而杆件的其它部分一直处于弹性阶段。整个塑性铰是由一系列子铰逐步屈服后形成的，每个子铰的力-变形关系用一个双线性函数表示，因此整个塑性铰的力-变形关系是多线性的。两个塑性铰之间由弹性杆件相连接，从而使整个杆件的柔度关系也是多线性的。必要的基本假设如下：梁单元在三维空间中可以处于任意位置，但必须是直梁；塑性性能集中于杆端塑性铰处发生；塑性铰具有刚塑性应变强化性质，因此具有塑性铰的梁单元各个力单独作用时与位移的关系曲线是多线性关系，如；双向弯矩、扭矩和轴力的相互关系可以通过一个四维空间屈服面来描述，这里忽略剪力对相关关系的影响，屈服后通过广义的M./Z法则来考虑其滞回硬化性质1也就是说屈服面在移动的过程中其大小和形状并不改变）；单元的力与变形关系塑性铰的力和变形的关系1.2塑性子铰的刚度塑性子铰的屈服强度和塑性铰的力-变形关系（中"！）必须事先准备好以便提供整个梁的屈服后刚度。塑性子铰是否形成的判断准则见1.3.应用弹塑性理论，可以求得塑性铰的四个杆端力单独作用时所对应的各自塑性刚度：第个塑性铰屈服后的轴向塑性刚度第个塑性铰屈服后的扭转塑性刚度第个塑性铰屈服后的弯曲塑性刚度1认为杆端的弯矩是反对称的）+i分别为第和1个塑性子铰形成后的杨氏模量和剪切模量。1.3塑性子铰是否形成的判断准则为了描述一个梁单元的物理非线性性质，可以假设塑性铰具有刚塑性应变硬化性质，力和变形呈多线性关系，见，其特征可以通过一系列刚塑性子铰来描述。通过一系列屈服面杆端力M.、M/、0和1之间的相关关系来判断杆端塑性子铰是否形成，中每个折点都对应一个屈服面，或者说是对应一个子铰的形成。对于每一个子铰都有一个屈服面与之对应，杆端力达到哪一个子铰处的屈服面，塑性铰的柔度就是那个子铰及之前各子铰柔度之和。屈服面的形式很多，国内外有很多学者为此作过研究，其中比较典型的并且比较简单的形式如式（4）所示。因为屈服面是一个四维关系M.、M/、M和1），不能通过一个简单的图形表达出来，但是屈服面通常体现为轴力与三个方向弯矩之间的关系（这里姑且把扭矩M也称为弯矩），因此为了明确概念可以通过一个三维示意图来表达，图中Mi和M代表其中的两个弯矩，1代表轴向力。

　　开始屈服，i为*后一个值时表示截面全截面屈服，取其它值时表示中间不同的屈服状态）；山和为屈服面形状参数，由截面形式而定由式（4）可见这些屈服面具有与初始屈服面相同的形状，但大小不同。

　　1.4塑性子铰的塑性流动及应变硬化当达到**个塑性子铰时，初始屈服面形成，并在相关空间中按照塑性铰塑性流动法则移动，直至第二个塑性子铰形成，到达第二个屈服面。这时两个屈服面将按两个子铰的塑性流动的组合同时发生移动。对于任何一个子铰，塑性流动是在力的作用点处沿着其所对应屈服面外法线方向发生的。如果有两个或更多的子铰产生，它屈服面的流动硬化们的屈服面将同时移动，总的塑性位移等于每个子铰塑性位移的矢量之和。给出了当发生某种塑性位移之后的屈服面的位置及流动方向。当然如果这时发生卸载，杆件将恢复初始的弹性刚度！4，直至达到屈服面反方向的塑性铰的发生，然后屈服面按前面的同样规则发生移动。

　　当杆端屈服后，塑性子铰的屈服面将以随动硬化法则（在空间中的形状和大小并不改变）在空间中移动，遵循Ziegler塑性理论。在中，当前力的相关作用点为A，它同时位于屈服面FSi，56'和563上，因此三个子铰都屈服了，这时的塑性流动方向为A点处屈服面外法线方向向量71，72和73之和。屈服面方程可表示为假设当前的受力状态点（"i）在屈服面FSi上，向屈服面5方向上加载，则需要定义屈服面FSi的移动。通过如下变换可以得到杆端力向量S"！点）和点）之间的关系其中：和！分别为当前屈服面和的中心位置'，和位置向量；Sul=diagd！！（8）对屈服面方程（5）两边微分得d" "，/dSi（10）因此再把式（10）代入式（8）得d！i=-"，dSi（11）由此可以看出对于任一状态（S，和！），上式给出了在杆端力增量dS，的作用下屈服面由FS，到%的移动向量。

　　1.5加卸载准则通过加卸载准则来判断塑性子铰当前状态是继续发展塑性还是弹性卸载。首先假定所有的塑性子铰都以一个极小量卸载，这样当前状态（子铰的杆端力）就位于屈服面之内，整个杆件是弹性的；计算给定位移下的弹性杆端力增量dSi，如果子铰的杆端力移到屈服面之外，说明**步的假设是不正确的，杆端继续发生塑性流动，如果子铰的杆端力仍然位于屈服面之内，说明假设正确，确实发生弹性卸载。表达成公式形式即：如果则说明继续加载，反之则发生弹性卸载。

　　2弹塑性单元刚度矩阵杆端屈服后每个塑性子铰的刚度矩阵为对角阵K/Pidiag4"），K"Mzi，K"M%i，和K".i为、5中所给的屈服面！形成后的子铰塑性刚度。令与塑性子铰的形成有关的杆端力向量为S，则屈服面的外法线方向为n其中A"/）。A"/.，由塑性铰理论可得任何已形成的塑性子铰的柔度矩阵若令则整个单元的柔度矩阵就可以表达为其中：，为杆件弹性柔度矩阵；"为当前研究的塑性子铰数；把，（4x1）扩展成，（6x1），即，中加入相对应的的元素，其余与杆件另一端的两个弯曲变形项暂时为零。使用Sherman公式可以将这里的空间梁单元弹塑性柔度矩阵以刚度形式加入单元切线刚度矩阵中，单元切线刚度矩阵的形式见3.1.以上过程是对空间梁单元一端塑性铰的变换，对于另一端也同样进行上述变换（如果也发生塑性变形的话），就可以得到整个单元的切线刚度。当然这里的6x6的切线刚度矩阵经过简单的变换5159可以扩充为12x 12阶的形式，以便形成总体刚度时使用。

　　3空间梁单元几何非线性3.1单元切线刚度矩阵几何非线性问题中，单元位置形状的变化对内力平衡和外载条件均会产生不可忽略的影响。这时采用修正的Lagrange描述的增量形式的公式来描述构件的变形是方便的。由于采用塑性铰法考虑杆件的弹塑性性能，因此空间梁单元本身的刚度矩阵可由弹性杆件的性能求得。众所周知，压弯构件的小位移物理方程有两种表达方式：一种是用超越函数表示的精确式51！7169，采用梁柱理论直接建立平衡方程，力和位移的关系矩阵即刚度矩阵由超越函数来精确表示；另一种是用Hermite多项式表示的近似式58，119，为了便于运算，它忽略了应变函数中的一些高阶项，所导出的单元刚度矩阵形式简洁，但有一定的近似性。一般来说，当构件的轴力参数3时，两者差别不大，所以在通常结构分析时使用后者对结构进行有限元离散分析的较多。但对高层钢结构的柱而言，特别是结构的底层柱，所受荷载以轴力为主，它通常在相当大的轴力作用下工作，轴力参数可能远远大于3，因此，本文采用基于梁柱理论的以超越函数表达的精确式，且考虑轴力与两个弯矩的耦合作用，具体的推导过程及*终的表达式可以参见。

　　3.2单元坐标转换矩阵在空间框架几何非线性分析中，有局部坐标系和整体坐标系之分。单元刚度矩阵*初建立在局部坐标系中，它必须经过坐标变换转化为整体坐标系中的单刚，然后才能合成整个结构的总体刚度矩阵。由于分析过程中，单元节点坐标随着结构位移的发展而不断发生变化，单元坐标系因而也不断发生变化，所以从单元局部坐标系到整体坐标系中的转换矩阵就需不断变化。这一不断变化的过程可以增量形式进行。如果令矩阵"为单元未变形时的局部坐标系向总体坐标系的转换矩阵，为，时刻与0时刻构件变形之间单元局部坐标系之间的转换关系。而在每一相邻时刻的结构变形，与，1之间增量坐标转换矩阵记作f+1A"，并用表示，时刻变形局部坐标系到结构整体坐标系之间注意到从构件初始变形0的局部坐标系到结构整体坐标系中转换矩阵在大多数结构矩阵分析教材中均有论述，这里只给出考f-iA"的表达。

　　在节点大位移、大转角问题中，尽管*后位移、转角值可能很大，但在修正的Lagrange描述中，在每一增量步中，单元方程是基于变形后的构件建立起来的，因而位移增量是微小的，从而转角增量也是微小的，故可仅计入二阶影响的线性主项。令f时刻构件在局部坐标系内发生转角"/，ft，"i，则有杆端位移向量在变形前（23，4）和变形后（'，3'，写成矩阵形式的变换关系/、0二个坐标是对等的。因由于转角"1、"/、ft都是微小的，因此上述矩阵是正交的，并且对此该式的导出与上述推导中各转角发生的次序无关。所以有6哈尔滨建筑大学学1f-iA！"11其中转角！，%，确定如下：令第！步中，单元'端相对于（端的相对位移增量在！时刻的单元局部坐标系中为则这样通过上述变换可以完成空间梁柱单元由局部坐标到整体坐标的非线性变换，从而能够建立结构整体的力学平衡方程。

　　4钢构件残余应力的考虑在高层钢结构中所使用的梁柱等构件（H型和箱形截面等）的截面尺寸一般都比较大，腹板和翼缘壁可能很厚，这样无论对于轧制型钢还是焊接型钢，都会有很大的残余应力存在。由于构件中压应力的存在，虽然对构件的全塑性承载力没有影响，但是却会导致受压杆件截面提前发展塑性，从而削弱杆件的刚度，使构件的荷载位移曲线降低，见中的曲线ODB，曲线OCB对应于没有残余应力的情况，曲线OEB对应于理想弹塑性情况。为全塑性弯矩，相当于B状态，相当于达时的转角。

　　如果要在计算时考虑残余应力的影响，就需要根据杆件截面形式、板件及焊缝的形式和构件的加工过程等因素，预先确定残余应力的分布模式及大小。然后结合本文所给的塑性铰理论，根据材料力学及弹塑性力学知识，确定杆端的初始屈服面（即杆件边缘纤维刚刚开始屈服时的相关曲线，残余应力的存在会导致其提前产生），后继的几个屈服面（由残余应力影响曲线，在初始和*终屈服面之间使用刚度线性插值的方式得到），和*终的屈服面（截面进入全塑性时的杆端力相关曲线）。当然对在试验室中要进行试验研究的结构而言，其构件的残余应力的分布和大小可以通过试验方法测得，可以分析得很精确，但对于实际结构来说，要得到每一根杆件的残余应力的分布是不现实的，因此需要根据已有的试验结果及实际经验来确定残余应力。

　　5结论本文引入塑性铰的概念，建立了空间梁单元弹塑性刚度矩阵，同时考虑几何非线性、残余应力、端部约束等的影响，给出了一套钢结构复杂体系考虑双重非线性的计算方法。它简单易行，克服了当前钢结构复杂体系非线性分析的方法繁琐、计算量大的缺点，同时它在理论上也是可行的，可用来编制大型通用程序，为高层钢结构力学性能的实用分析奠定了理论基础。